Logicismo

Il logicismo è il tentativo di ridurre la matematica ai concetti e alle regole della logica. Il programma logicista si prefigge due obiettivi, formulati per la prima volta dal nell'opera del logico e matematico Gottlob Frege (1848-1925):

• risolvere i concetti matematici, anche quelli considerati non ulteriormente definibili e perciò primitivi, in termini puramente logici;
• dimostrare i teoremi della matematica mediante l'applicazione dei principi e delle regole di inferenza del ragionamento logico.

Mentre attendeva alla realizzazione del suo programma Frege ricevette una lettera in cui Russell, uno dei pochi a dimostrare interesse per il programma dell'oscuro pensatore tedesco all'inizio del Novecento, gli comunicava un'antinomia che avrebbe vanificato il lavoro cui si era dedicato con la pubblicazione in due volumi dei Grundgesetze. L'antinomia è oggi nota con il nome di paradosso di Russell. Frege non si sarebbe più ripreso dal colpo infertogli da Russell e per la restante parte della sua vita si sarebbe tenuto lontano dal problema dei fondamenti della matematica.

Al contrario di Frege, Russell si sarebbe cimentato, assieme al collega Alfred North Whitehead, nel tentativo di superare la sua stessa antinomia dando alla luce i ponderosi tre volumi dei Principia Mathematica, pubblicati tra il 1910 e il 1913. Quest'opera rappresentò il più grandioso tentativo di realizzare il sogno fregeano di fondazione logica della matematica, anzi lo spirito russelliano si dimostrò ancora più radicale di quello del suo predecessore nella misura in cui arrivò a coinvolgere la geometria, precedentemente esclusa da Frege.

La riduzione logicista fu raggiunta da Russell a costo di alcune ambiguità che negli anni a seguire provocarono il progressivo disfacimento del sistema eretto nei Principia. Punti deboli della sistemazione russelliana si rivelarono:

• il predicativismo della logica declinata da Russell nella teoria dei tipi a fronte del non predicativismo della matematica;
• l'assioma dell'infinito, per cui esistono infiniti individui distinti;
• l'assioma della scelta o moltiplicativo.

Nonostante gli sforzi di Frank Plumpton Ramsey (1903-1930), il programma logicista si inaridì e venne soppiantato da altri approcci al problema dei fondamenti della matematica, quali il formalismo di Hilbert o l'intuizionismo di Poincaré e Brouwer.

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